Нільпотентна алгебра Лі

В математиці, алгебра Лі називається нільпотентною якщо її нижній центральний ряд зрештою стає рівним нулю. Він є Лі алгебраїчним аналогом нільпотентних груп.

Означення

Нехай ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Лі. Тоді ${\mathfrak {g}}$ називається нільпотентною якщо нижній центральний ряд рівний нулю починаючи з деякого члена, тобто якщо ${\mathfrak {g}}_{n}=0$ для деякого n ∈ ℕ.

А саме

$[X_{1},[X_{2},[\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_{n}}Y\in {\mathfrak {g}}_{n}=0$

$\forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)$

тож ad_X1ad_X2 ⋅⋅⋅ ad_Xn = 0.

Еквівалентні означення

Наслідком означення (1) є те, що

$[X,[X,[\cdots [X,Y]\cdots ]={\mathrm {ad} _{X}}^{n}Y\in {\mathfrak {g}}_{n}=0\quad \forall X,Y\in {\mathfrak {g}}.\qquad (2)$

Тому (ad_X)ⁿ = 0 для всіх $X\in {\mathfrak {g}}$. Тобто, ad_X є нільпотентним ендоморфізмом. Такий елемент x в ${\mathfrak {g}}$ називається ad-нільпотентним.

Навпаки, якщо ${\mathfrak {g}}$ є скінченновимірною, умова (2) є еквівалентною умові (1), згідно теореми Енгеля

Алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ є нільпотентною тоді і тільки тоді коли ${\mathfrak {g}}$ є ad-нільпотентною.

Іншою еквівалентною умовою нільпотентності ${\mathfrak {g}}$ є: ${\mathfrak {g}}$ є нільпотентною тоді і тільки тоді коли $\mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}$ є нільпотентною алгеброю Лі. Це випливає з того що на основі (1) $\mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}$ є нільпотентною, оскільки (n − 1) вкладені дужки Лі будуть мати форму, як в (1). Навпаки

$[[\cdots [[X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}],X_{1}]=\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}](X_{1}),$ і оскільки ad є гомоморфізмом алгебр Лі,

${\begin{aligned}\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}]&=[\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots X_{3}],\mathrm {ad} _{X_{2}}]\\&=\ldots =[\cdots [\mathrm {ad} _{X_{n}},\mathrm {ad} _{X_{n-1}}],\cdots \mathrm {ad} _{X_{2}}].\end{aligned}}$

Якщо $\mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}$ є нільпотентною, останній вираз рівний 0 для достатньо великих n, і відповідно це ж справедливо і для першого виразу. Але звідси отримується (1), тож алгебра ${\mathfrak {g}}$ є нільпотентною.

Приклади

• Нехай $V$ є скінченновимірним векторним простором над полем $K$ і $F=\{V_{i}\}$ — прапор векторних підпросторів. Підалгебра ${\mathfrak {n}}(F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(V)|xV_{i}\subset V_{i-1},\;\;\forall V_{i}\}$ алгебри ${\rm {gl}}_{k}$ є нільпотентною алгеброю Лі. Якщо на просторі $V$ ввести базис, що узгоджується з $F$ то елементи алгебри ${\mathfrak {n}}(F)$ визначаються верхніми трикутними матрицями з нулями на головній діагоналі. Якщо прапор є повним то відповідною алгеброю буде алгебра всіх верхніх трикутних матриць над полем $K$ розмірності n, що позначається ${\mathfrak {n}}(n,K).$ Довільна скінченновимірна нільпотентна алгебра Лі є ізоморфною підалгебрі ${\mathfrak {n}}(n,K)$ для деякого n.
• ${\mathfrak {n}}(3,K)$ з точністю до ізоморфізмів є єдиною неабелевою нільпотентною алгеброю Лі розмірності 3.
• Якщо алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ має автоморфізм простого періоду без нерухомих точок за винятком 0, тоді ${\mathfrak {g}}$ є нільпотентною.
• Алгебра Гейзенберга є нільпотентною.

Властивості

• Кожна нільпотентна алгебра є розв'язною. Ця властивість є корисною для доведення розв'язності оскільки перевірка нільпотентності зазвичай є простішою. Обернене твердження загалом не є правильним. Наприклад алгебра ${\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )$ (k ≥ 2), що складається з верхніх трикутних матриць є розв'язною але не нільпотентною.
• Якщо алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ є нільпотентною то її підалгебри, гомоморфні образи, факторалгебри, центральні розширення і скінченні прямі суми є нільпотентними.
• Якщо факторалгебра ${\mathfrak {g}}/Z({\mathfrak {g}})$, де $Z({\mathfrak {g}})$ є центром ${\mathfrak {g}}$, є нільпотентною, то нільпотентною є і алгебра ${\mathfrak {g}}$.
• Теорема Енгеля: Алгебра Лі ${\mathfrak {g}}$ є нільпотентною тоді і тільки тоді коли для всі елементи алгебри ${\mathfrak {g}}$ є ad-нільпотентними. Більш загально для довільного скінченновимірного представлення $\rho$ нільпотентної алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ для якого $\rho (X)$ є нільпотентним для всіх $X\in {\mathfrak {g}}$ існує такий повний прапор, що $\rho ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}(F).$
• Узагальненням попередньої властивості є теорема Цасенгауза, згідно якої для довільного скінченновимірного представлення $\rho$ у векторному просторі над алгебраїчно замкнутим полем нільпотентної алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ простір $V$ на якому визначене представлення розкладається на пряму суму підпросторів обмеження $\rho$ на кожному з яких є сумою скалярного і нільпотентного лінійних операторів.
• Форма Кіллінга нільпотентної алгебри Лі рівна 0. Більш загально для довільної скінченновимірної алгебри Лі її нільпотентний ідеал є ортогональним до всієї алгебри відносно форми Кіллінга.
• Нільпотентна алгебра Лі має зовнішні автоморфізми, тобто автоморфізми які не є образами відображення Ad.
• Для скінченновимірної розв'язної алгебри Лі ${\mathfrak {g}}$ над полем характеристики 0 $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ є нільпотентною алгеброю.
• Для довільної нільпотентної алгебри Лі розмірності більшої 1 корозмірність її комутатора $\operatorname {codim} \;[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geqslant 2.$ Зокрема якщо $\operatorname {dim} \;{\mathfrak {g}}\leqslant 2,$ то ${\mathfrak {g}}$ є абелевою.
• В довільній скінченновимірній алгебрі Лі ${\mathfrak {g}}$ існує найбільший нільпотентний ідеал, що називається нільрадикалом. У полі характеристики 0 нільрадикал складається з елементів $X\in {\mathfrak {g}}$ для яких $\operatorname {ad} _{X}$ є нільпотентним лінійним перетворенням.
• Іншим важливим нільпотентним ідеалом є нільпотентний радикал, що за означенням рівний перетину ядер скінченновимірних незвідних представлень алгебри ${\mathfrak {g}}$. Якщо ${\mathfrak {r}}$ — радикал алгебри ${\mathfrak {g}}$ (тобто максимальний розв'язний ідеал) то нільпотентний радикал рівний ${\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {r}}]=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\cap {\mathfrak {r}}.$Факторалгебра ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {n}}$ є редуктивною алгеброю Лі і ${\mathfrak {n}}$ є мінімальним із ідеалів для яких виконується ця умова.
• Якщо $V$ — скінченновимірний векторний простір над полем характеристики 0 то довільна нільпотентна підалгебра Лі ${\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)$ записується як ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}+{\mathfrak {n}}$, де ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {n}}$ — ідеали, що складаються відповідно з напівпростих і нільпотентних елементів з ${\mathfrak {g}}$.

Див. також

• Нільпотентна матриця

• Розв'язна алгебра Лі

Література

• Fulton, W.; Harris, J. (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics. Т. 129. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6. MR 1153249.
• Humphreys, James E. (1972). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. Т. 9. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5.
• Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. Т. 120 (вид. 2nd). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.